差分约束系统_百度百科

如果一个系统由n个变量和m个约束条件组成，其中每个约束条件形如xj-xi<=bk(i,j∈[1,n],k∈[1,m]),则称其为差分约束系统(system of difference constraints)。亦即，差分约束系统是求解关于一组变量的特殊不等式组的方法。

求解差分约束系统，可以转化成图论的单源最短路径（或最长路径）问题。

观察xj-xi<=bk，会发现它类似最短路中的三角不等式d[v]<=d[u]+w[u,v]，即d[v]-d[u]<=w[u,v]。因此，以每个变量xi为结点，对于约束条件xj-xi<=bk，连接一条边(i,j)，边权为bk。我们再增加一个源点s,s与所有定点相连，边权均为0。对这个图，以s为源点运行Bellman-ford算法（或SPFA算法），最终{d[ i]}即为一组可行解。

例如，考虑这样一个问题，寻找一个5维向量x=(xi)以满足：

这一问题等价于找出未知量xi，i=1,2,…,5，满足下列8个差分约束条件：

x1-x2≤0

x1-x5≤-1

x2-x5≤1

x3-x1≤5

x4-x1≤4

x4-x3≤-1

x5-x3≤-3

x5-x4≤-3

该问题的一个解为x=(-5,-3,0,-1,-4)，另一个解y=(0,2,5,4,1)，这2个解是有联系的：y中的每个元素比x中相应的元素大5。

引理：设x=(x1,x2,…,xn)是差分约束系统Ax≤b的一个解，d为任意常数。则x+d=(x1+d,x2+d,…,xn+d)也是该系统Ax≤b的一个解。

bellman-ford算法伪代码：

for each v V do d[v] <-- 无限大; d[s] <-- 0

Relaxation

for i =1,...,|V|-1 do

for each edge (u,v) 属于 E do

d[v] <-- min{d[v], d[u]+w(u,v)}

Negative cycle checking

for each v 属于V do if d[v]> d[u] + w(u,v) then no solution

在实际的应用中，一般使用SPFA(Shortest Path Fast Algorithm)算法来实现。

差分约束系统中源点到每个点的距离确定

关于Dist[]的初始化化

1.如果将源点到各点的距离初始化为0，最终求出的最短路满足 它们之间相互最接近了

2.如果将源点到各点的距离初始化为INF(无穷大)，其中之1为0，最终求出的最短路满足 它们与该点之间相互差值最大。

3.差分约束系统的确立要根据自己确定的约束条件，从约束点走向被约束点

连边一般有两种方法，第一种是连边后求最长路的方法，第二种是连边后求最短路的方法。

例：d[x]-d[y]>=Z

如果想连边后求最长路 那么将不等式变形为这种形式 d[x]>=d[y]+z y---x连一条权值为z的边

求最短路则变形成d[y]<=d[x]-z x---y连一条权值为-z的边。

如果是别的不等式，也可以根据情况变形。但是要保证的是 两个变量（x,y)的系数一定要是正的。而常量则不一定。

定理：将如上差分约束系统

转换成图后，以

为源点得到的最短路径序列为

（如果有解），则

满足

且若

为

任意解，则有

。

证明：首先由

，则显然有

满足

，这是因为每条边对应一个不等式且由图的构造法可知。其次考察

到

的最短路径

，我们有

与

直接相连且由路径最短知

，其中

为不等式

的常量即为边

的权，所以有

。对k做归纳，由

，又

，所以

即

所以后者成立。证毕

例：设有n个盒子标号为1...n，每个盒子最多放1个球。放法满足

（0<i≤m）约束，其中

表示区间

最多可放

个球，求这n个盒子最多可放多少个球。^[1] 

令前k个盒子放的数目为

，则有

，

（1 ≤ i ≤ n ），

（1 ≤ i ≤ m）。以此约束条件用如上算法给出最短路径序列

，由定理知

是合法的放法，且

为最大值。

Read full article from 差分约束系统_百度百科