二分图大讲堂――彻底搞定最大匹配数(最小覆盖数)、最大独立数、最小路径覆盖、带权最优匹配 - One thing I know,that is I know nothing.(Socrates Greek) - ITeye技术网站



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二分图大讲堂――彻底搞定最大匹配数(最小覆盖数)、最大独立数、最小路径覆盖、带权最优匹配

文本内容框架:

§1图论点、边集和二分图的相关概念和性质

§2二分图最大匹配求解

匈牙利算法、Hopcroft-Karp算法

§3二分图最小覆盖集和最大独立集的构造

§4二分图最小路径覆盖求解

§5二分图带权最优匹配求解

Kuhn-Munkers算法

§6小结

每章节都详细地讲解了问题介绍,算法原理和分析,算法流程,算法实现四部分内容,力求彻底解决问题。

 

§1图论点、边集和二分图的相关概念和性质

 

点覆盖、最小点覆盖

点覆盖集即一个点集,使得所有边至少有一个端点在集合里。或者说是"点" 覆盖了所有"边"。。极小点覆盖(minimal vertex covering):本身为点覆盖,其真子集都不是。最小点覆盖(minimum vertex covering):点最少的点覆盖。点覆盖数(vertex covering number):最小点覆盖的点数。

 

边覆盖、极小边覆盖

     边覆盖集即一个边集,使得所有点都与集合里的边邻接。或者说是"边" 覆盖了所有"点"。极小边覆盖(minimal edge covering):本身是边覆盖,其真子集都不是。最小边覆盖(minimum edge covering):边最少的边覆盖。边覆盖数(edge covering number):最小边覆盖的边数。

 

独立集、极大独立集

独立集即一个点集,集合中任两个结点不相邻,则称V为独立集。或者说是导出的子图是零图(没有边)的点集。极大独立集(maximal independent set):本身为独立集,再加入任何点都不是。最大独立集(maximum independent set):点最多的独立集。独立数(independent number):最大独立集的点。

 

团即一个点集,集合中任两个结点相邻。或者说是导出的子图是完全图的点集。极大团(maximal clique):本身为团,再加入任何点都不是。最大团(maximum clique):点最多的团。团数(clique number):最大团的点数。

 

边独立集、极大边独立集

边独立集即一个边集,满足边集中的任两边不邻接。极大边独立集(maximal edge independent set):本身为边独立集,再加入任何边都不是。最大边独立集(maximum edge independent set):边最多的边独立集。边独立数(edge independent number):最大边独立集的边数。

 

边独立集又称匹配(matching),相应的有极大匹配(maximal matching),最大匹配(maximum matching),匹配数(matching number)。

 

支配集、极小支配集

支配集即一个点集,使得所有其他点至少有一个相邻点在集合里。或者说是一部分的"点"支配了所有"点"。极小支配集(minimal dominating set):本身为支配集,其真子集都不是。最小支配集(minimum dominating set):点最少的支配集。支配数(dominating number):最小支配集的点数。

 

边支配集、极小边支配集

边支配集即一个边集,使得所有边至少有一条邻接边在集合里。或者说是一部分的"边"支配了所有"边"。极小边支配集(minimal edge dominating set):本身是边支配集,其真子集都不是。最小边支配集(minimum edge dominating set):边最少的边支配集。边支配数(edge dominating number):最小边支配集的边数。

 

最小路径覆盖

最小路径覆盖(path covering):是"路径" 覆盖"点",即用尽量少的不相交简单路径覆盖有向无环图G的所有顶点,即每个顶点严格属于一条路径。路径的长度可能为0(单个点)。

最小路径覆盖数=G的点数-最小路径覆盖中的边数。应该使得最小路径覆盖中的边数尽量多,但是又不能让两条边在同一个顶点相交。拆点:将每一个顶点i拆成两个顶点Xi和Yi。然后根据原图中边的信息,从X部往Y部引边。所有边的方向都是由X部到Y部。因此,所转化出的二分图的最大匹配数则是原图G中最小路径覆盖上的边数。因此由最小路径覆盖数=原图G的顶点数-二分图的最大匹配数便可以得解。


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