[Algo] Maximum Expression Value 表达式最大值 - SegmentFault

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给定一个整数数组，要求在数字之间任意添加乘号，加号和括号，使得最后表达式结果最大。比如1121,最大值为(1+1)*(2+1)，所有数字都是正数。

动态规划

复杂度

时间O(n^2) 空间O(N^2)

思路

先假设没有乘号，那最大值就是所有数加起来，然后我们考虑将其分段加入乘号，如果某一段是加号，和其他段相乘，那我们就认为那段加号的就被加了个括号。所以我们分段的过程其实就加了括号了。但是这么多数字我们可以分很多不同段，如果用搜索的话难免会有重复计算，所以这里用到动态规划，假设dp[i][j]表示总长为i的一段数字，其中前j长的哪一段中可以包含乘号，所能产生的最大值，这么一来，假设题目所给的数字有n个，那dp[n][n]就是这所有的数字组合起来既有加号又有乘号的式子的最大值了。再假设sum(k, i)表示所给数字从第k个到第i个数字的和。递推式为dp[i][j] = max(dp[i][j], dp[k][j - 1] * sum(k + 1, i))，这里i >= k >= j。其中后半部分dp[k][j - 1] * sum(k + 1, i)表示，我们把总长为i的数字分割成前k个，和k + 1到最后两部分。前半部分最大值已知，我们用它来乘以后半部分的和，用这种方法来决定哪一段只用加号。
举例说明，假设所给数字为

3 2 6

我们可以有最大值3 * 2 * 6 = 36，一开始我们有：

sum: 3 5 11           j=0  j=1  j=2  j=3 dp:  i=0  0    0    0    0      i=1  0    3    0    0      i=2  0    5    0    0      i=3  0    11   0    0

由于总长为i，其中前1位数字可以包含乘号的情况，就是所有数字都不包含乘号，所以最大值就是累加值。然后我们看总长为2开始（总长为1就是第一个数，没有计算的必要），前2位数字可以包含乘号的情况，这里我们可以有分割点k = 1时，是3 + 2 = 5和k = 2时是3 * 2 = 6两种情况（k表示从第k位开始只有加号）。这时最大值6，更新dp[2][2]。

          j=0  j=1  j=2  j=3 dp:  i=0  0    0    0    0      i=1  0    3    0    0      i=2  0    5    6    0      i=3  0    11   0    0

然后我们看总长为3开始（总长为1就是第一个数，没有计算的必要），前2位数字可以包含乘号的情况。这里k=2时，3 * (2 + 6) = 24, k=3时，6 * 6 = 36(第一个6是dp[2][2]，第二个6是我们所给数字中的6)

          j=0  j=1  j=2  j=3 dp:  i=0  0    0    0    0      i=1  0    3    0    0      i=2  0    5    6    0      i=3  0    11   24   36

更新完dp[3][3]我们也就计算完所有情况了，这时可知最大值是36.

注意

全局最大max在第一个用于累加的for循环后，要置为dp[n][0]，否则我们会把全部数字加起来这个组合给漏掉。

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