《Algorithms》第1章：Algorithm with numbers 学习笔记 - 记路 - 博客频道 - CSDN.NET

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1、二进制乘法的两个算法：

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这两个算法本质上是一样的。讲到分治的时候，还会介绍新的算法。

2、乘法运算、指数模运算、欧几里得最大公约数：

3、欧几里得算法的几个引理：

• if a >= b, then a mod b < a/2
• if d divides both a and b, and d = ax + by for some integers x and y(may be negative) , then necessarily d = gcd(a,b)

4、模除法：gcd(a,N) = 1(即互质) <==> 存在x，使得ax ≡ 1 (mod N) （可用反证法证明）

5、素性测试：

• 最naive的想法：用 2到根号n 除n
  
  
• 费马小定理，通过费马测试的数不一定都是素数；
  引理：如果存在一个相对N为素数的a使得 a^(N-1) ≠ 1 mod(N), 则小于N的所有数里面至少有一半（N/2）个 满足这种条件的数。
  根据引理：P(return yes when N is not prime)  ≤ 1/2
  所以只需在选取k个a，就可以使出错概率减小到1/ (2^k) (以上分析都不考虑Carmichael number)
  以下是伪码：

     附：当a = 2, n≤25*10^9时，费马素性测试的出错情况：（出错概率随着要测试的数的长度的增加而快速下降）

6、密码学原理：对发出的信息进行扰乱，使人读不懂其内容，而接收信息的人按照事先约定的某种方式讲扰乱的信息进行复原，然后即可读懂。分为 私匙协议 和 公匙协议(数论) 。

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