母函数与排列组合 - 海 子 - 博客园

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　　在谈论母函数问题之前，我们先看一个简单的问题描述：假如有两组数据（A,B）和（C,D），每组中选出一个构成一个组合，总共有几种选法？很显然总共有4种选法：AC,AD,BC,BD。而且很容易联想到这个式子（A+B）*（C+D）=A*C+A*D+B*C+B*D。式子中的几个乘积项就是上面的4种选法。假如把问题换一下：每组中选出一个或0个数据构成组合，总共有几种组合？那么结果就变成：{空},A,B,C,D,AC,AD,BC,BD，而式子（1+A+B）*（1+C+D）=1+C+D+A+A*C+A*D+B+B*C+B*D，正好和上面组合的结果又一致（1代表什么都没选）。从这2个例子我们可以发现多项式乘积和组合存在着某种关系。事实上我们可以这么理解：（1+A+B）可以理解为从第一组数据中取0个数据，取A或者取B，同样（1+C+D）可以理解为从第二组数据取0个数据，取C或者取D。两者相乘的结果就表示了所有的组合。再看一下这个多项式：

　　（1+x）*（1+x+x²）*（1+x³）=1+2x+2x²+2x³+2x⁴+2x⁵+x⁶

　　这个多项式和上面的有一些区别了，它的幂级数超过1了。如果要从（1+x）、（1+x+x²）和（1+x³）中得到x的2次方的话，有两种选择：从（1+x）和（1+x+x²）中分别选择一个x或者从（1+x+x²）中选择x²；如果要得到x的6次方的话，只有1种选择，就是从（1+x）中选择x、（1+x+x²）中选择x²、（1+x³）中选择x³。也就是说乘积结果的每一项a_nxⁿ的前面的系数a_n表示了从（1+x）、（1+x+x²）和（1+x³）中得到xⁿ的组合数。

　　其实上面的例子就利用了母函数的思想，下面来具体讨论一下母函数。

一.什么是母函数

　　下面这个对于母函数的描述摘自维基百科：

　　在数学中，某个序列 的母函数是一种形式幂级数，其每一项的系数可以提供关于这个序列的信息。

　　也就是说母函数是针对某个序列的，它的外在表现形式是一种形式幂级数。比如说有这样一个序列a₀，a₁，......a_n，构造一个函数

　　f(x)=a₀+a₁x+a₂x²+......+a_nxⁿ

　　则f(x)是序列a₀，a₁，......a_n的母函数。比如说最常见的(1+x)ⁿ，它是序列C(n,0)，C(n,1)，C(n,2)...C(n,n)的母函数。

　　母函数包括几种，其中最常见的是普通型母函数和指数型母函数。普通型母函数是形如　f(x)=a₀+a₁x+a₂x²+......+a_nxⁿ的函数，而指数型母函数是形如G(x) = a₀ + a₁*(x)/1! + a₂*(x²)/ 2! + a₃*(x³)/3! + …… a_n*(xⁿ)/k!的函数。

二.利用普通型母函数解决组合问题

　利用母函数的思想可以解决很多组合问题，下面举例说明：

　1.口袋中有白球2个，红球3个，黄球1个，从袋中摸出3个球有几种取法？

　   和上面描述的例子类似，我们可以用次数代表球的个数，多项式的每一项前面的系数代表取法的种树。

　　可以很容易地写出下面这个式子：

　　（1+x+x²）（1+x+x²+x³）（1+x）

 　　（1+x+x²）表示有白球2个，1表示白球不取，x代表取1个白球，x2代表取2个白球，即用x的次数表示取球的个数，后面的也是类似。那么这个多项式的乘积就把所有的情况都表示出来了，对于最终乘积的每一项a_nxⁿ，表示取n个球有a_n种取法。

    2.有若干个1克，2克，5克的砝码，要称出20克的重量，有多少种称法？

　　这里不限制砝码的个数，无所谓，照样写出母函数：

　　（1+x+x²+x³+......x^k+....）（1+x²+x⁴+x⁶......+x²ⁿ+......）（1+x⁵+x¹⁰+......x5^m+......）

　　因为要称出20克，所以只需要找找到结果中次数为20 的那一项就可以得到结果。

    3.同样对于正数划分也可以解决，比如有整数20，划分成1，2，5，有多少种划分方法？

　　解法和2的类似。

     还有一类题目和这类似，有n个球放到m个盒子中，有多少种不同的放法？

    （1+x+x2+x3+...xk+...）（1+x+x2+x3+...xk+...）（1+x+x2+x3+...xk+...）总共有m项，然后找出乘积中次数为n的那一项系数。

三.利用指数型母函数解决排列问题

　　1.口袋中有白球2个，红球3个，黄球1个，任取3个作为一个排列，总共有多少种排列？

　　类似地用指数型母函数解决

　　用（1+x/1!+x²/2!）表示取白球0个，1个或者2个

　　那么（1+x/1!+x²/2!）（1+x/1!+x²/2!+x³/3!）（1+x/1!）来表示所有的排列结果。

 　 =1+3x+4x²+19x³/6+19x⁴/12+6x⁵/12+x⁶/12

　  =1+3*(x/1!)+8*(x²/2!)+19*(x³/3!)+38*(x⁴/4!)+60*(x⁵/5!)+60*(x⁶/6!)

　　找到次数为3的那一项，系数为19，那么总共有19种排列。

　　2.用1，2，3，4能够组成多少个5位数，要求1出现2次或者3次，2出现0次或者1次，3没有限制，4只出现偶数次。

　　（x²/2!+x³/3!）（1+x）（1+x/1!+x²/2!+x³/3!+.....x^k/k!+....）（1+x²/2!+x⁴/4!+......+x²ⁿ/(2n)!+......）

　　 每个式子的含义就不多解释了，读者应该能看懂它的含义。最终的结果就是x⁵/5!这一项的系数。

　　用代码去实现母函数的计算过程很简单，它是模拟我们人工计算多项式乘积的过程，比如有多项式H1*H2*H3......

　　我们先计算H1和H2的乘积，得到结果H'，再用H'和H3相乘......依次类推下去，直到得到最终的结果。

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