1. 猜数字
我们先来玩一个猜数字游戏：我心里默念一个1~64之间的数，你来猜（你只能问答案是"是"或"否"的问题）。为了保证不论在什么情况下都能以尽量少的次数猜中，你应该采取什么策略呢？很显然，二分。先是猜是不是位于1~32之间，排除掉一半可能性，然后对区间继续二分。这种策略能够保证无论数字怎么跟你捉迷藏，都能在log_2{n}次以内猜中。用算法的术语来说就是它的下界是最好的。
我们再来回顾一下这个游戏所蕴含的本质：为什么这种策略具有最优下界？答案也很简单，这个策略是平衡的。反之如果策略不是平衡的，比如问是不是在1~10之间，那么一旦发现不是在1~10之间的话就会剩下比N/2更多的可能性需要去考察了。
徐宥在讨论中提到，这种策略的本质可以概括成"让未知世界无机可乘"。它是没有"弱点的"，答案的任何一个分支都是等概率的。反之，一旦某个分支蕴含的可能性更多，当情况落到那个分支上的时候你就郁闷了。比如猜数字游戏最糟糕的策略就是一个一个的猜：是1吗？是2吗？… 因为这种猜法最差的情况下需要64次才能猜对，下界非常糟糕。二分搜索为什么好，就是因为它每次都将可能性排除一半并且无论如何都能排除一半（它是最糟情况下表现最好的）。
2. 称球
12个小球，其中有一个是坏球。有一架天平。需要你用最少的称次数来确定哪个小球是坏的并且它到底是轻还是重。
这个问题是一道流传已久的智力题。网络上也有很多讲解，还有泛化到N个球的情况下的严格证明。也有零星的一些地方提到从信息论的角度来看待最优解法。本来我一直认为这道题目除了试错之外没有其它高妙的思路了，只能一个个方法试，并尽量从结果中寻找信息，然后看看哪种方案最少。
然而，实际上它的确有其它的思路，一个更本质的思路，而且根本用不着信息论这么拗口的知识。
我们先回顾一下猜数字游戏。为了保证任何情况下以最少次数猜中，我们的策略是每次都排除恰好一半的可能性。类比到称球问题上：坏球可能是12个球中的任意一个，这就是12种可能性；而其中每种可能性下坏球可能轻也可能重。于是"坏球是哪个球，是轻是重"这个问题的答案就有12×2=24种可能性。现在我们用天平来称球，就等同于对这24种可能性发问，由于天平的输出结果有三种"平衡、左倾、右倾"，这就相当于我们的问题有三个答案，即可以将所有的可能性切成三份，根据猜数字游戏的启发，我们应当尽量让这三个分支概率均等，即平均切分所有的可能性为三等份。如此一来的话一次称量就可以将答案的可能性缩减为原来的1/3，三次就能缩减为1/27。而总共才有24种可能性，所以理论上是完全可以3次称出来的。
Read full article from 数学之美番外篇：快排为什么那样快
No comments:
Post a Comment